Barisan dan Deret Aritmatika: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal

08.05

Barisan dan Deret Aritmatika: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal

Apa itu Barisan Aritmatika?

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan di mana selisih antara dua suku yang berurutan selalu sama. Selisih ini disebut beda (d).

Jika suku pertama adalah $a_1$ dan beda adalah $d$, maka suku ke-$n$ (dilambangkan dengan $a_n$) dirumuskan:

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

an​=a1​+(n−1)d

Contoh barisan aritmatika:
2, 5, 8, 11, 14, ... (beda = 3)

---

Apa itu Deret Aritmatika?

Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku dalam barisan aritmatika. Jika kita menjumlahkan n suku pertama, hasilnya dilambangkan dengan $S_n$. Rumusnya adalah:

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Sn​=2n​(a1​+an​)

atau

$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n - 1)d)$$

Sn​=2n​(2a1​+(n−1)d)

---

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1

Diketahui $a_1 = 5$ dan $d = 3$. Tentukan suku ke-10!

Pembahasan:
Gunakan rumus $a_n = a_1 + (n - 1)d$:

$$a_{10} = 5 + (10 - 1) \cdot 3 = 5 + 27 = 32$$

a10​=5+(10−1)⋅3=5+27=32

Jawaban: $a_{10} = 32$.

---

Soal 2

Hitung jumlah 10 suku pertama barisan dengan $a_1 = 5$, $d = 3$.

Pembahasan:
Gunakan rumus jumlah:

$$S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10})$$

S10​=210​(a1​+a10​)

Sudah diketahui $a_{10} = 32$, jadi:

$$S_{10} = 5(5 + 32) = 5 \cdot 37 = 185$$

S10​=5(5+32)=5⋅37=185

Jawaban: $S_{10} = 185$.

---

Soal 3

Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 255. Jika $a_1 = 3$, $d = 5$, tentukan nilai $n$!

Pembahasan:
Gunakan rumus:

$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n - 1)d)$$

Sn​=2n​(2a1​+(n−1)d)

$$255 = \frac{n}{2}(2 \cdot 3 + (n - 1) \cdot 5)$$$$255 = \frac{n}{2}(6 + 5n - 5)$$$$255 = \frac{n}{2}(5n + 1)$$

Kalikan dua sisi:

$$510 = n(5n + 1) \implies 5n^2 + n - 510 = 0$$

Cari n dengan rumus kuadrat:

$$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 5 \cdot 510}}{10} = \frac{-1 \pm \sqrt{10201}}{10} = \frac{-1 \pm 101}{10}$$

Ambil yang positif:

$$n = \frac{100}{10} = 10$$

Jawaban: $n = 10$.

---

Soal 4

Diketahui $a_1 = 30$, $d = -2$, $n = 10$. Hitung jumlah 10 suku pertama!

Pembahasan:

$$S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot 30 + (10 - 1)(-2))$$

S10​=210​(2⋅30+(10−1)(−2))

$$S_{10} = 5(60 + (-18)) = 5 \cdot 42 = 210$$

Jawaban: $S_{10} = 210$.

---

Tips Cepat Menghitung

1. Jika tahu suku pertama dan suku terakhir, pakai $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$.

2. Jika diberi dua suku yang tidak berurutan, beda $d = \frac{\text{selisih suku}}{\text{selisih posisi}}$.

3. Soal yang meminta $n$ biasanya memerlukan penyelesaian kuadrat.

---

Latihan Mandiri

1. Barisan aritmatika: 7, 11, 15, ... Tentukan $a_{20}$ dan $S_{20}$.

2. Diketahui $a_5 = 18$ dan $a_9 = 30$. Tentukan $a_1$ dan $d$.

3. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah 780. Jika $a_1 = 6$ dan $d = 4$, tentukan $n$.